正方形ABCD的对角线AC上有一点P,连接BP,作PE⊥BP,PE交CD于E,EF∥BC交AB于F,

题目

正方形ABCD的对角线AC上有一点P,连接BP,作PE⊥BP,PE交CD于E,EF∥BC交AB于F,
已知AB＝10.
（i）求证：△PBE是等腰直角三角形.
（ii）设AP＝x,BF＝y,求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围；
（iii）点P在变化过程中,是否有可能出现△PBE与正方形ABCD的面积比为3∶8?如有可能求出x和y的值,如不可能,请说出理由.
（iv）点P在变化过程中,是否有可能出现△PCE为等腰三角形,如果可能请指出所有可能使△PCE为等腰三角形的点E的位置,并指出相应的x的值,如不可能,请说出理由.

答案

（1）过点P做PG⊥BC于G,PH⊥DC于H.∵AC平分∠DCB,∴PG=PH..∵∠BPE=90°=∠GPH=90°.∴∠BPG=∠EPH,又∵∠PGB=∠PHE=90°,∴△PGB≌△PHE.(AAS)∴PB=PE..∵∠BPE=90°,∴△PBE是等腰直角三角形
（2）∵EF∥BC,∴BF=CE=y.∵AP=x,∴PC=10根号2-x.,PH=HC=10-1/2根号2倍的x.,HE=10-1/2根号x-y.在直角三角形PDE中,PE²=PH²+HE²,BE²=2PE²=BC²+CE²,∴可求出关系式.