三角形ABC为等边三角形,底边为BC,在底边BC下方有一个D点,与B、C组成等腰三角形,使DB=DC,角BDC=120°,以D为顶点做一个60°角,交AB、AC于M、N两点,连接MN.

题目

三角形ABC为等边三角形,底边为BC,在底边BC下方有一个D点,与B、C组成等腰三角形,使DB=DC,角BDC=120°,以D为顶点做一个60°角,交AB、AC于M、N两点,连接MN.
探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由

答案

如图
延长AC至点E,使得CE=BM,连接DE
设∠CDN=∠1,∠BDM=∠2,∠CDE=∠3
因为△ABC为等边三角形,所以：
∠ABC=∠ACB=60°
又,△DBC为顶角为120°的等腰三角形,所以：∠DBC=∠DCB=30°
所以,∠MBD=∠NCD=60°+30°=90°
即,△MBD和△NCD均为直角三角形
所以,△DCE也是直角三角形
那么,在Rt△MBD和Rt△ECD中：
BD=CD（已知）
∠MBD=∠ECD=90°（已证）
MB=CE（所作）
所以,Rt△MBD≌Rt△ECD(SAS)
所以,∠2=∠3,MD=ED
已知∠BDC=120°,∠MDN=60°
所以,∠1+∠2=60°
所以,∠1+∠3=60°
则,∠1+∠2=∠MDN
即,∠EDN=∠MDN
所以,在△MDN和△EDN中：
MD=ED（已证）
∠MDN=∠EDN（已证）
DN公共
所以,△MDN≌△EDN（SAS）
所以,MN=EN=EC+CN=BM+CN