定义区间（m,n）,【m,n】,（m,n】,【m,n）的长度均为n-m,其中n＞...

题目

定义区间（m,n）,【m,n】,（m,n】,【m,n）的长度均为n-m,其中n＞...
定义区间（m,n）,【m,n】,（m,n】,【m,n）的长度均为n-m,其中n＞m,一直关于x的不等式组1/2＜2的x次方＜16,log2x+log2（tx+t）＜2的解集构成的各区间长度和为4,则实数t的取值范围是什么（要详细答案）

答案

1.1/2＜2^x＜16,2^(-1)＜2^x＜2^4,易得不等式的-1＜x＜4；
2.对于log₂x+log₂(tx+t)＜2,有x＞0,(tx+t)=t(x+1)＞0,
则x＞0,t＞0,
故log₂x(tx+t)＜2=log₂4,x(tx+t)＜4,
整理得tx²+tx-4＜0,
对于f(x)=tx²+tx-4,开口向上（t＞0）,对称轴为-1/2,过定点(0,-4),画图得知,
f(x)有两根a,b,若a＜b,则a为负根,b为正根,只要a＜x＜b,f(x)＜0恒成立,
但x＞0,
故不等式的解为：0＜x＜b,其中b={[根号下(t²+16t)]-t}/2t；
3.综上,不等式组的解为-1＜x＜4与0＜x＜b的交集,
当b＜4时,交集为x∈﹙0,b﹚,区间长度b-0=b=4,前后矛盾；
当b=4时,交集为x∈﹙0,b=4﹚,区间长度b-0=4-0=4,成立,解出t=1/5或0（舍）；
当b＞4时,交集为x∈﹙0,4﹚,区间长度4-0=4,成立,解出0＜t＜1/5；
综上,t∈﹙0,1/5].