已知函数f(x)=sin(π/4)x-cos(π/6)x

题目

已知函数f(x)=sin(π/4)x-cos(π/6)x
1,求出最小正周期 2 f(1)+f(2)+f(3)+.f(2012)+f(2013)

答案

1
sin(πx/4)的最小正周期为8,cos(πx/6)的最小正周期为12
取2个最小正周期的最小公倍数,得f(x)=sin(πx/4)-cos(πx/6)的最小正周期为24
2
在f(x)的一个周期内,f(1)+f(2)+...+f(24)=(sin(π/4)+sin(2π/4)+...+sin(24π/4))
-(cos(π/6)+cos(2π/6)+...+cos(24π/6))
因为sin(πx/4)在24内有3个周期,故(sin(π/4)+sin(2π/4)+...+sin(24π/4))=0
cos(πx/6)在24内有2个周期,故(cos(π/6)+cos(2π/6)+...+cos(24π/6))=0
因为2016/24=84,即：f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2014)+f(2015)+f(2016)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+.f(2012)+f(2013)=-(f(2014)+f(2015)+f(2016))
-(f(-2)+f(-1)+f(0))=3/2+(sqrt(2)+sqrt(3))/2+1=(5+sqrt(2)+sqrt(3))/2