已知函数f(x)=x-sin2x，x∈[0，π2]，过点P（0，m）作曲线y=f（x）的切线，斜率恒大于零，则m的取值范围为 _ ．

题目

已知函数f(x)=x-sin2x，x∈[0，

π

2

]，过点P（0，m）作曲线y=f（x）的切线，斜率恒大于零，则m的取值范围为 ___ ．

答案

f′（x）′=1-2cos2x，x∈[0，

π

2

]
∴f′（x）∈[-1，3]，
当f′（x）=3时，f（x）过点（

π

2

，

π

2

）
直线方程为：y-

π

2

=3（x-

π

2

），又过点P（0，m）
代入得m-

π

2

=3（0-

π

2

），解得m=-π
当f′（x）=0时，f（x）过点（

π

6

，

π

6

-

3

2

）
直线方程为：y-

π

6

+

3

2

=0，又过点P（0，m）
m=

π

6

-

3

2

因此m的范围是[-π，

π

6

-

3

2

）
故答案为：[-π，

π

6

-

3

2

)

先求导函数f′（x），根据x的范围从而求出f′（x）的取值范围，然后求出零界位置时m的取值，从而求出取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角函数的值域，属于中档题．