在正四面体ABCD（AB=BC=CD=DA=AC=BD=a)中,求其内切球和外接球的体积与表面积

题目

在正四面体ABCD（AB=BC=CD=DA=AC=BD=a)中,求其内切球和外接球的体积与表面积

答案

因是正四面体,所以内切球和外接球的球心相同,且圆心为正四面体的内心!
因为是正四面体,可以记公式的!
　高：√6a/3.中心把高分为1:3两部分.
表面积：√3a^2 　　体积：√2a^3/12 　
　外接球半径 　　
内切球半径：√6a/12,
下面我说一下具体解法!
A-BCD来看,记BCD的中心E,则AE垂直于面BCD,那么,球心一定在AE连线上
连BE ,可算出BE=√3*a/3 .再看三角形 ABE ,AE=√6 a/3
记球心为O,
则连BO,由勾股定理知!（AE-AO）^2+BE^2=BO^2
可算出 AO=√6a/4,即R外=AO=√6a/4,
则R内=OE=√6a/12