△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形,且AB=AD=AC=2,CD=√6.若P是AC的中点,求二面角P-BD-C的正切值

题目

△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形,且AB=AD=AC=2,CD=√6.若P是AC的中点,求二面角P-BD-C的正切值


计算可以不用说,能详细讲讲思路么?

答案

在平面ABC内作PE垂直BC,交BC于E,则PE=EC=PC*sin45度=(根号2)/2
而:BC=2(根号2),所以:BE=BC-EC=(3/2)(根号2),BE/BC=3/4
在平面ABD内作EF垂直BD,交BD于F,则EF平行CD,EF/CD=BE/BC=3/4
EF=(3/4)CD=(3/4)(根号6)
可以证明BD垂直PE
(设M为BC中点,N为BD中点,则:MN平行CD,BD垂直MN; 而ABD为等腰三角形,所以BD垂直AN; 因此,BD垂直平面AMN,BD垂直AN; 而在三角形ABC中,显然AM垂直BC,AM平行PE,因此,BD垂直PE)
因此,BD垂直平面PEF,二面角P-BD-C = 角PFE
在三角形PBD中,PF垂直BD,因此,PF=(PD^2-FD^2)^(1/2)
其中,PD可由三角形ADC解出(三边2,2,√6,P是AC中点); FD可由三角形ABD解出(FD/BD=EC/BC,BD=(BC^2-CD^2)^(1/2) )
于是,在三角形PFE中,我们求出了PF,PE,FE,则用余玄定理可求出cos(角PFE),于是可以求出,sin(角PFE),tan(角PFE)