求与y轴相切,圆心在2x-y=0上,且被直线y=x+1截得的弦长为2的圆的方程

题目

求与y轴相切,圆心在2x-y=0上,且被直线y=x+1截得的弦长为2的圆的方程

答案

圆心在2x-y=0 即：2x=y 设圆心为(a,2a),则半径为|a|,于是有圆的方程为：
(x-a)^2+(y-2a)^2=a^2
被直线y=x+1截得的弦长为2,将y=x+1代入圆的方程得：
(x-a)^2+(x+1-2a)^2=a^2
化简整理和得：2x^2+(2-6a)x+4a^2-2a+1=0
x1+x2=3a-1,x1x2=2a^2-a+1/2 .1
y1-y2=x1-x2.2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2.3
弦长为2,所以有：
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=4 .4
将1、2、3代入4得：
a^2+2a-3=0 解得：
a=-3,或 a=1
所以 圆的方程为：(x+3)^2+(y+6)^2=9 或：(x-1)^2+(y-2)^2=1