大一微积分（二阶线性微分方程）

题目

大一微积分（二阶线性微分方程）
设 α,β,γ为常数,y＝e^2x＋（1＋x）e^x是微分方程y''＋ αy'＋βy＝γe^x的一个特解,求 α,β,γ.

答案

y=e^(2x)+(1+x)e^x,
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,
y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,
代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,对任意x都成立,
∴4+2α+β=0,
3+2α+β-γ=0,
1+α+β=0.
解得α=-3,β=2,γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特征根是1,2,其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.