设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
题目
设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
答案
解设x1,x2属于(0,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=e^x1+e^(-x1)-e^x2-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+e^(-x1)-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+1/e^(x1)-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+e^(x2)/e^(x2)e^(x1)-e^(x1)/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2+[e^(x2)-e^(x1)]/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2-[e^(x1)-e^(x2)]/e^(x1)e^(x2)
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]
由x1<x2
知e^x1<e^x2
即e^x1-e^x2<0
又由0<x1<x2
即e^(x1)>1,e^(x2)>1
则e^(x1)e^(x2)>1
即1-1/e^(x1)e^(x2)>0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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