计算∫∫∫zdv,其中由不等式x^2+y^2+(z-a)^2

题目

计算∫∫∫zdv,其中由不等式x^2+y^2+(z-a)^2

答案

你的第一个球方程写错了吧?应该是x²+y²+(z-a)²≤a²,你写的a少了个平方
求两曲面交线为：z²+(z-a)²=a²,得：2z²-2az=0,则z=a
用竖坐标为z的平面截立体,
积分区域为下半部分是Ω₁：圆锥 x²+y²≤z²,截面：x²+y²=z²
上半部分是半球Ω₂： x²+y²+(z-a)²≤a²,截面：x²+y²=a²-(z-a)²
∫∫∫zdv
=∫∫∫(Ω₁) zdv+∫∫∫(Ω₂) zdv
=∫[0---->a] z dz∫∫ dxdy+∫[a---->2a] zdz∫∫ dxdy
=∫[0---->a] z*πz² dz+∫[a---->2a] z*π(a²-(z-a)²) dz
=(π/4)z⁴ |[0---->a] + π∫[a---->2a] (2az²-z³) dz
=πa⁴/4+(2πa/3)z³-(π/4)z⁴ |[a---->2a]
=πa⁴/4+(16πa⁴/3)-16πa⁴/4-(2πa⁴/3)+(πa⁴/4)
=7πa⁴/6