四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PB⊥底面ABCD,证明无论四棱锥的高PB怎样变化,面PAD与面PCD不可能垂直

题目

四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PB⊥底面ABCD,证明无论四棱锥的高PB怎样变化,面PAD与面PCD不可能垂直

答案

设PB=h,正方形边长为a,在面PCD中过C向PD做垂线,交PD于E
∵PB⊥底面ABCD
∴PB⊥CD、PB⊥AD
∵PB⊥CD、CD⊥BC
∴CD⊥面PCB,因而DC⊥PC,∠PCD为直角
同理∠PAD为直角,
∵CD=AD,PD=PD,∠PAD=∠PCD=90
∴△PCD和△PAD全等,可证AE⊥PD,因此∠CEA为面PAD和面PCD的二面角
又设CE=AE=b,∵S△PCD=DC*PC/2=PD*b/2
∴b=a*sqrt(h^2+a^2)/sqrt(h^2+2a^2)