已知直线过点(4,2),与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点,当三角形ABO的面积最小时,求AB

题目

已知直线过点(4,2),与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点,当三角形ABO的面积最小时,求AB
的方程

答案

设：过点(4,2)的直线方程是：y=k(x－4)＋2,其中k>0
则：B(0,－4k＋2)、A(4－2/k,0)
则：
S=(1/2)×|－4k＋2|×|4－2/k|
S=2×[(2k－1)²/k] (k>0)
S=2×[(4k)＋(1/k)－2]
因为k>0,则：(4k)＋(1/k)≥4
即：S≥4
此时,4k=1/k,得：k=2或k=－2【舍去】
则直线方程是：
y=2(x－4)＋2
化简得：2x－y－6=0