x4+ax3+x2+bx+1有一个因式x2-2x+1求a,b并分解因式

题目

x4+ax3+x2+bx+1有一个因式x2-2x+1求a,b并分解因式

答案

∵x4+ax3+x2+bx+1有一个因式x^2-2x+1=(x-1)^2
设x4+ax3+x2+bx+1=(x^2+mx+n)(x^2-2x+1)
∴常数项n*1=1,n=1
右边二次项：mx*(-2x)+nx^2+x^2=(-2m+2)x^2
左边二次项：x^2
∴ -2m+2=1,m=1/2
∴x4+ax3+x2+bx+1=(x^2+1/2x+1)(x^2-2x+1)
右边3次项：1/2x*x^2-2x*x^2=-3/2x^3
左边3次项：ax^3
右边1次项：1/2x-2x=-3/2x
左边1次项：bx
∴ a=-3/2,b=-3/2
∴x⁴-3/2x³+x²-3/2x+1=(x^2+1/2x+1)(x-1)²