用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种） 设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横

题目

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

答案

（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；
（2）AD=（12-4x）÷3=4-

4

3

x，
S=x（4-

4

3

x），
=-

4

3

x²+4x，
当x=-

4

2×(− 4 3 )

=

3

2

时，
S_最大=

0−16

4×(− 4 3 )

=3，
答：当x=

3

2

时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；
（3）AD=（a-nx）÷3=

a

3

-

n

3

x，
S=x（

a

3

-

n

3

x），
=-

n

3

x²+

a

3

x，
当x=-

a 3

2×(− n 3 )

=

a

2n

时
S_最大=

− a2 9

4×(− n 3 )

=

a2

12n

．
答：当x=

a

2n

时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是

a2

12n

平方米．