过点(0,-1)作直线l与圆：x^2+y^2-2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l方程

题目

过点(0,-1)作直线l与圆：x^2+y^2-2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l方程

答案

设圆心为M,线段AB的中点为H,则MH⊥AB
已知圆的方程可变形为(x-1)²+(y-2)²=25,可见圆心为M(1,2),圆半径为5
由勾股定理可求得弦心距MH=3,亦即圆心到直线L的距离为3
设直线L的斜率为k,由点斜式可写出直线L的方程为k=(y+1)/(x-0),化简得
kx-y-1=0
由点到直线的距离公式又有MH=|k*1-2-1|/√(k²+1²)=|k-3|/√(k²+1)
结合上面得出的MH=3得
|k-3|/√(k²+1)=3
解这个方程得k=0或k= -3/4
故直线L的方程为y= -1或3x+4y+4=0