变积分上限函数与下限的关系是什么?

题目

变积分上限函数与下限的关系是什么?
变积分上限函数求导时与积分下限有关吗?计算时呢?

答案

下面的例子或许会对你的理解有所帮助：
设F(x)=∫f(t)dt ...(1)
1.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时,得：
(a,b)∫f(t)dt=F(b)-F(a)
如对上式微分,因F(b)和F(a)都是常数,则得：
[(a,b)∫f(t)dt]ʹ=[F(b)-F(a)]ʹ=0
2.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是变数x时,得：
(a,x)∫f(t)dt=F(x)-F(a)
从上式可知,积分的结果与下限有关.可是因F(x)是x的函数,F(a)是常数,如对上式微分,则得：
[(a,x)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x)-Fʹ(a)=f(x)-0=f(x)
因常数的导数是0,上面的导数就与下限无关了.
3.当方程(1)等号右边的积分下限是变数x上限也是变数,如x²时,得：
(x,x²)∫f(t)dt=F(x²)-F(x)
如对上式微分,因F(x²)和F(x)都是x的函数,则得：
[(x,x²)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x²)-Fʹ(x)=2xf(x²)-f(x)
上面的导数与下限有关.
因此,对变积分限的函数求导时,如积分下限也是一个变量,则其导数与下限有关.但若积分下限是一个常数,则其导数与下限无关.