以三角形ABC的AB、AC为边向外做等边三角形ABD、ACE,连接CD、BE相交于点O.求证：OA平分角DOE.

题目

以三角形ABC的AB、AC为边向外做等边三角形ABD、ACE,连接CD、BE相交于点O.求证：OA平分角DOE.

答案

仅举两例：
证法1：
因为△ABD、△ACE为等边三角形
所以 AD=AB,AC=AE,角DAB=角CAE=60度,角DAB+角BAC=角CAE+角BAC
所以 角DAC=角BAE,所以 三角形DAC全等于三角形BAE,
所以 角ABO=角ADO,角AEO=角ACO
所以 B,O,A,D四点共圆,C,O,A,E四点共圆
所以 角AOD=角ABD=60°,角AOE=角ACE=60°
所以 角AOD=角AOE=60°,所以 OA平分∠DOE
证法2：
因为△ABD、△ACE为等边三角形
所以 AD=AB,AC=AE,角DAB=角CAE=60度,角DAB+角BAC=角CAE+角BAC
所以 角DAC=角BAE,所以 三角形DAC全等于三角形BAE,
所以 DC=BE 且三角形DAC和三角形BAE的面积相等；
过A分别作DC、BE边上的高AF,AG,则高AF=AG相等,Rt△AOF全等于Rt△AOG,角AOD=角AOE,于是AO平分角DOE