已知三角形ABC的三边a>b>c且a+c=2b,A-C=90,求a:b:c

题目

已知三角形ABC的三边a>b>c且a+c=2b,A-C=90,求a:b:c
证明

答案

∵ a+c=2b,A-C=90°,
由正弦定理得
sinA+sinC=2sinB
sinC=sin(A-90° )=-cosA
cosC=cos(A-90°)=sinA
∵ A+B+C=180°
sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC
sinA+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
sinA+sinC-2sinAcosC-2cosAsinC=0
sinA-cosA -2sinA sinA +2cosAcosA =0
2 sin＾2A+2 sinAcosA –sinA-2 sinAcosA-2cos＾2A+cosA=0
(sinA-cosA)(2sinA+2cosA-1)=0
∵A-C=90°,A=C+90°A≠45°
sinA-cosA=0 不成立.
∴2sinA+2cosA-1=0
sinA+cosA=1/2
sin^2A+cos^2A+2sinAcosA=1/4
2sinAcosA=(1/4)-1=-3/4
2sinAsinC=3/4
sinAsinC=3/8
4sin^2B=(sinA+sinC)^2=sinA^2+sinC^2+3/4=sinA^2+cosA^2+3/4=7/4
sinB=√7/4
sinA+sinC=2sinB
sinA+sinC=√7/2
sinAsinC=3/8
sinA,sinC是方程x^2-√7/2x+3/8=0 两根
sinC=(2√7-1)/8
sinA=√7/2-(2√7-1)/8 =(2√7+1)/8
sinB=√7/4
a:b:c= sinA:sinB:sinC=(2√7+1)/8
：√7/4：(2√7-1)/8=2√7+1：2√7：2√7-1
a:b:c=2√7+1：2√7：2√7-1
希望给你有所帮助.
吉林 汪清