已知函数f(x)=4sinωxcos(ωx+π3)+3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[−π4,π6]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.

已知函数f(x)=4sinωxcos(ωx+π3)+3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[−π4,π6]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.

题目
已知函数f(x)=4sinωxcos(ωx+
π
3
)+
3
(ω>0)
的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间[−
π
4
π
6
]
上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
答案
(1)∵f(x)=4sinωx(cosωxcos
π
3
−sinωxsin
π
3
)+
3
,------(1分)
=2sinωxcosωx−2
3
sin2ωx+
3
=sin2ωx+
3
cos2ωx
---(3分)
=2sin(2ωx+
π
3
)
.--------(4分)
T=
=π
,∴ω=1,----(5分)
f(x)=2sin(2x+
π
3
)
.------(6分)
(2)∵
π
4
≤x≤
π
6
,∴
1
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1
,即-1≤f(x)≤2,--------(9分)
2x+
π
3
=−
π
6
,即x=−
π
4
时,f(x)min=-1,
2x+
π
3
π
2
,即x=
π
12
时,f(x)max=2.-----(12分)
(1)利用两角和差的正弦公式化简函数f(x)的解析式为2sin(2ωx+
π
3
)
,再根据最小正周期为π求得ω的值,即可进一步确定函数的解析式.
(2)根据
π
4
≤x≤
π
6
,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)在区间[−
π
4
π
6
]
上的最大值和最小值,及取得最值时x的值.

由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域.

本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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