已知函数f(x)=4sinωxcos(ωx+π3)+3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[−π4,π6]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
题目
已知函数
f(x)=4sinωxcos(ωx+)+(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间
[−,]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
答案
(1)∵
f(x)=4sinωx(cosωxcos−sinωxsin)+,------(1分)
=
2sinωxcosωx−2sin2ωx+=
sin2ωx+cos2ωx---(3分)
=
2sin(2ωx+).--------(4分)
∵
T==π,∴ω=1,----(5分)
∴
f(x)=2sin(2x+).------(6分)
(2)∵
−≤x≤,∴
−≤sin(2x+)≤1,即-1≤f(x)≤2,--------(9分)
当
2x+=−,即
x=−时,f(x)
min=-1,
当
2x+=,即
x=时,f(x)
max=2.-----(12分)
(1)利用两角和差的正弦公式化简函数f(x)的解析式为
2sin(2ωx+),再根据最小正周期为π求得ω的值,即可进一步确定函数的解析式.
(2)根据
−≤x≤,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)在区间
[−,]上的最大值和最小值,及取得最值时x的值.
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域.
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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