x+y+z=e∧（x+y+z）,求σz/x及σz/y,

题目

x+y+z=e∧（x+y+z）,求σz/x及σz/y,

答案

令 t=x+y+z ,
则 t=e^t ,
t*e^(-t)=1 ,
(-t)*e^(-t)= -1 ,
因此 -t=w(-1) （其中 w(x) 是朗伯函数）
即 -x-y-z=w(-1) ,
所以 z=-x-y-w(-1) .
最后的等式显示,z 是 x、y 的一次函数,
因此 z '(x)= -1 ,z '(y)= -1 .
也可以在原方程上直接对 x、y 求导.
1+z '(x)=(1+z '(x))*e^(x+y+z) ,
因此 (1+z '(x))*[1-e^(x+y+z)]=0 ,
解得 z '(x)= -1 .同理 z '(y)= -1 .