设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0）=f(2a）,证明：存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a）

题目

设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0）=f(2a）,证明：存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a）

答案

令F（x）=f(x)-f(x+a),
因为f(x)在[0,2a]上连续,所以
F(x)在[0,2a]上连续,
又
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) (因为f(0）=f(2a）)
所以
F(0)F(a)=-[f(0)-f(a)]^2