如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．

题目

如图，正方形ABCD中，AB=

3

，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．

答案

将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD=15°，
∠GAE=15°+30°=45°，
∠EAF=90°-（30°+15°）=45°，
∴∠GAE=∠FAE，又AE=AE，
∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，
∠AEF=∠AEG=60°，
在Rt△ABE中，AB=

3

，∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，BE=AB•tan30°=1，
在Rt△EFC中，∠FEC=180°-（60°+60°）=60°，
EC=BC-BE=

3

-1，EF=2（

3

-1），
∴EG=2（

3

-1），S_△AEG=

1

2

EG•AB=3-

3

，
∴S_△AEF=S_△AEG=3-

3

．

将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置，得到△ABG，求证：△AEF≌△AEG，要求△AEF的面积求△AEG即可，且AB为底边上的高，EG为底边．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均相等的性质，解本题的关键是巧妙地构建△ABG，并且求证△AEF≌△AEG．