已知点A(1,2)点B(5,6),长为1的线段CD在X轴上运动,当四边形ABCD的周长最小时,...

题目

已知点A(1,2)点B(5,6),长为1的线段CD在X轴上运动,当四边形ABCD的周长最小时,...
已知点A(1,2)点B(5,6),长为1的线段CD在X轴上运动,当四边形ABCD的周长最小时,点D的坐标

答案

设C点坐标为 (a,0),那么D点坐标是(a+1,0)
四边形ABCD中,AB的长度不变,CD的长度也不变
变动的是AD和BC的长度
∵AC²=(a-1)²+4 BD²=(a-5)²+36
∴AC²+BD²≥2AC*BD
当且仅当 AC=BD时,有最小值
即当a²-2a+5=a²-10a+61时,AD²+BC²最小,
此时 有8a=56 a=7
因此当a=7时,AD+BC最小
从而因为AB和CD的不变,可知当a=7时四边形ABCD的周长最小
此时D点的坐标是 （8,0）