行列式的题目

题目

行列式的题目
试证明：n次多项式f(x)=an*x^n+an-1*x^(n-1)+...+a1*x+a0(其中an不＝0)最多只有n个互异的根

答案

如果f(t)=0,那么(x-t)|f(x).
假定f至少有n+1个互异的根t_i,那么(x-t_i)|f(x)
又由于x-t_i和x-t_j互质,所以prod[(x-t_i)]_{i=1:n} | f(x)
f(x)被一个次数更高的多项式整除,必有f(x)=0,矛盾.