在斜棱柱ABC_A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°侧面BB1C1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,二面角A－B1B-C为30°.（1）求证AC⊥平面BB1C1C；（2）

题目

在斜棱柱ABC_A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°侧面BB1C1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,二面角A－B1B-C为30°.（1）求证AC⊥平面BB1C1C；（2）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；（3）在平面AA1B1B内找一点P,使三棱锥P-BB1C为正三棱锥,并求该棱锥底面BB1C上的高

答案

1.证明：∵,∠ACB=90
∴AC⊥BC
∵侧面BB1C1C⊥底面ABC
∴AC⊥平面BB1C1C
2.过C作CD⊥BB1于D,连接AD
∵AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1,AC⊥CD
∴BBI⊥面ACD,∠ACD=90°
∴AD⊥BB1
∴∠ADC是二面角A－B1B-C
∴∠ADC=30°
∵侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°
∴CD=2*sin60°=根号3
∴AC=CD*tan∠ADC=根号3*tan30°=1
∵AC⊥平面BB1C1C
∴∠AB1C是AB1与平面BB1C1C所成角,AC⊥B1C
∵A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°
∴B1C=2
∴tan∠AB1C=AC/B1C=1/2
∠∠∠∠