椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2＝1（a>b>0）的下顶点为B,右焦点为F,BF的延长线与椭圆

题目

椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2＝1（a>b>0）的下顶点为B,右焦点为F,BF的延长线与椭圆
及其右准线分别交于P,Q两点,若P是线段BQ的中点,求此椭圆的离心率.

答案

B、F、P分别做准线的垂线,垂足为B'、F'、P'.
BB'=a^2/c,FF'=a^2/c-c=b^2/c,PP'=a^2/2c.
设PF=x,因为PP'/PF=BB'/BF=e,BF=2x.
P是BQ中点,PQ=3x.
三角形QPP'与三角形QFF'相似,
PP'/FF'=QP/QF,代入数据：
(a^2/2c)/(b^2/c)=3x/4x=3/4,
即得a^2/b^2=3/2,e^2=1/3,e=1/√3.