已知tanθ和tan(∏/4-θ)是一元二次方程x²+px+q=0的两个根,且有tanθ:tan(∏/4-θ)=3:2,求p和q的值

题目

已知tanθ和tan(∏/4-θ)是一元二次方程x²+px+q=0的两个根,且有tanθ:tan(∏/4-θ)=3:2,求p和q的值

答案

由已知得：tanθ+tan(∏/4-θ)=-p,tanθ•tan(∏/4-θ)=q.
因为tanθ:tan(∏/4-θ)=3:2,tan(∏/4-θ)=2tanθ/3,代入上式得：
tanθ+2tanθ/3=-p,tanθ•2tanθ/3=q.
即5tanθ/3=-p,2tan²θ/3=q.
25 tan²θ/9= p²,2tan²θ/3=q.
两式相除得：p²/ q=25/6.……①
tanπ/4=tan[θ+(∏/4-θ)]= [tanθ+tan(∏/4-θ)]/[1- tanθ•tan(∏/4-θ)]
=-p/(1-q),
又tanπ/4=1,所以-p/(1-q)=1.……②
①②联立解得p=5,q=6.或p=-5/6,q=1/6.
这两组解都满足判别式△>0,适合题意.