怎么化简这条式1的平方+2的平方+~（N—1）的平方

题目

怎么化简这条式1的平方+2的平方+~（N—1）的平方
这个公式怎么来的

答案

可以用递推得来
注意到
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1
……
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
把上面所有式子相加
左边为n^3-1^3 右边为3（1^2+……+(n-1)^2） +3(1+……+(n-1)) +(n-1)
即n^3-1^3=3（1^2+……+(n-1)^2）+3(1+……+(n-1))+(n-1)
即n^3-1= 3（1^2+……+(n-1)^2）+3n(n-1)/2+(n-1)
整理得（1^2+……+(n-1)^2）=(n-1)n(2n-1) /6