已知,如图,BD是正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,求证: (1)△BCE≌△DCF; (2)DG2=GE•GB;

已知,如图,BD是正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,求证: (1)△BCE≌△DCF; (2)DG2=GE•GB;

题目
已知,如图,BD是正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,求证:

(1)△BCE≌△DCF;
(2)DG2=GE•GB;
(3)若CF=2
2
-2,求正方形ABCD的面积.
答案
证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴CB=CD,∠BCD=90°,在△BCE和△DCF中BC=DC∠BCE=∠DCFCE=CF,∴△BCE≌△DCF(SAS);(2)∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF,∵BE平分∠DBC,∴∠CBE=∠DBE,∴∠DDG=∠GBD,...
(1)根据正方形的性质得正方形,CB=CD,∠BCD=90°,利用“SAS”可判断△BCE≌△DCF;
(2)由△BCE≌△DCF得∠CBE=∠CDF,再根据角平分线的定义得到∠CBE=∠DBE,则∠DDG=∠GBD,而∠DGE=∠BGD,根据三角形相似的判定得到△GDE∽△GBD,利用相似比即可得到DG2=GE•GB;
(3)先利用等角的余角相等得∠DGE=∠BCE=90°,即BG⊥DF,而BG平分∠DBF,根据等腰三角形的判定方法得到△BGF为等腰三角形,则BD=BF=BC+CF,由于BD=
2
BC,CF=2
2
-2,所以
2
BC=BC+2
2
-2,可计算出BC=2,然后计算正方形ABCD的面积.

相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组角对应相等的两个三角形相似;相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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