如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点. 求证:CD=1/2AE.
题目
如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点.
求证:CD=
AE.
答案
证明:∵CD⊥AE,
∴∠ADC=90°,
∴∠4+∠3=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠3=∠2,
∴∠1=∠4,
在△CBF和△ABE中,
,
∴△CBF≌△ABE(ASA),
∴CF=AE,
∵AE是∠BAC的角平分线,CD⊥AE,
∴∠1=∠CAD,∠ADC=∠ADF=90°,
在△ACD和△AFD中,
| ∠CAD=∠1 | AD=AD | ∠ADC=∠ADF=90° |
| |
,
∴△ACD≌△AFD(ASA),
∴CD=DF=
CF,
∵AE=CF,
∴CD=
AE.
首先证明△CBF≌△ABE可得CF=AE,再证明△ACD≌△AFD可得CD=DF=
CF,再进行等量代换可得结论CD=
AE.
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