如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分线．CD⊥AE，与AE的延长线交于D点，与AB的延长线交于F点． 求证：CD=1/2AE．

题目

如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分线．CD⊥AE，与AE的延长线交于D点，与AB的延长线交于F点．
求证：CD=

1

2

AE．

答案

证明：∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠4+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
在△CBF和△ABE中，

∠1＝∠4 AB＝CB ∠ABE＝∠CBF＝90°

，
∴△CBF≌△ABE（ASA），
∴CF=AE，
∵AE是∠BAC的角平分线，CD⊥AE，
∴∠1=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD＝∠1 AD＝AD ∠ADC＝∠ADF＝90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=

1

2

CF，
∵AE=CF，
∴CD=

1

2

AE．

首先证明△CBF≌△ABE可得CF=AE，再证明△ACD≌△AFD可得CD=DF=

1

2

CF，再进行等量代换可得结论CD=

1

2

AE．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA．证明三角形全等必须有边相等的条件．