如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点. 求证:CD=1/2AE.

如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点. 求证:CD=1/2AE.

题目
如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点.
求证:CD=
1
2
AE.
答案
证明:∵CD⊥AE,
∴∠ADC=90°,
∴∠4+∠3=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠3=∠2,
∴∠1=∠4,
在△CBF和△ABE中,
∠1=∠4
AB=CB
∠ABE=∠CBF=90°

∴△CBF≌△ABE(ASA),
∴CF=AE,
∵AE是∠BAC的角平分线,CD⊥AE,
∴∠1=∠CAD,∠ADC=∠ADF=90°,
在△ACD和△AFD中,
∠CAD=∠1
AD=AD
∠ADC=∠ADF=90°

∴△ACD≌△AFD(ASA),
∴CD=DF=
1
2
CF,
∵AE=CF,
∴CD=
1
2
AE.
首先证明△CBF≌△ABE可得CF=AE,再证明△ACD≌△AFD可得CD=DF=
1
2
CF,再进行等量代换可得结论CD=
1
2
AE.

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