数学基本不等式问题

数学基本不等式问题

题目
数学基本不等式问题
若x>0,y>0且2/x+8/y,求x+y,xy的最小值
问题补充: 2/x+8/y=1
答案
第一题柯西不等式x+y>=18
(x+y)=(x+y)(2/x+8/y)>=(根号(x*2/x)+根号(y*8/y))^2=(根号2+2根号2)^2=18
等号成立时有x/(2/x)=y/(8/y)->y^2=4x^2,y=2x
代入2/x+8/y=1得6/x=1,x=6,y=12
第二题也是,xy>=64
需要变形
2/x+8/y=1 -> (8x+2y)/xy=1
-> xy=8x+2y
xy=(8x+2y)(2/x+8/y)>=(根号(8x*2/x)+根号(2y*8/y))^2=(4+4)^2=64
等号成立时8x/(2/x)=2y/(8/y)->y^2=16x^2,y=4x
代入得2/x+8/4x=1,4/x=1,x=4,y=16
综上x+y>=18,xy>=64
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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