如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC=5-1，则AC=_．

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC=

5

-1，则AC=______．

答案

∵AB=AC，∠C=72°，BC是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAC=36°，
∴∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴AD=BD=BC；
又∵BC是切线，
∴BC²=CD•AC，
∴BC²=（AC-BC）•AC（设AC=x），则可得到：（x-

5 −1

2

）²=

5

4

(

5

−1)2，
解得：x₁=2，x₂=

5

−3（x₂＜0不合题意，舍去）．
∴AC=2．

利用切割线定理，可以求出AC的值．

本题考点：切线的性质；一元二次方程的应用；切割线定理．

考点点评：此题运用了切线的性质定理，还有切割线定理，以及解一元二次方程的知识．