如图,△OAB的底边经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB,⊙O与OA、OB分别交于D、E两点. (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)若D为OA的中点,阴影部分的面积为3-π3,求⊙O的半径r.

如图,△OAB的底边经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB,⊙O与OA、OB分别交于D、E两点. (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)若D为OA的中点,阴影部分的面积为3-π3,求⊙O的半径r.

题目
如图,△OAB的底边经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB,⊙O与OA、OB分别交于D、E两点.

(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若D为OA的中点,阴影部分的面积为
3
-
π
3
,求⊙O的半径r.
答案
(1)证明:连OC,如图,
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)∵D为OA的中点,OD=OC=r,
∴OA=2OC=2r,
∴∠A=30°,∠AOC=60°,AC=
3
r,
∴∠AOB=120°,AB=2
3
r,
∴S阴影部分=S△OAB-S扇形ODE=
1
2
•OC•AB-
120•π•r2
360
=
3
-
π
3

1
2
•r•2
3
r-
π
3
r2=
3
-
π
3

∴r=1,
即⊙O的半径r为1.
(1)连OC,由OA=OB,CA=CB,根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB,再根据切线的判定定理得到结论;
(2)由D为OA的中点,OD=OC=r,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°,∠AOC=60°,AC=
3
r,则∠AOB=120°,AB=2
3
r,利用S阴影部分=S△OAB-S扇形ODE,根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程,解方程即可.

切线的判定与性质;勾股定理;扇形面积的计算.

本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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