已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

题目

已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

答案

证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴2∠C+∠C=90°，
解得∠C=30°，∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=

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×60°=30°，
∴∠CBD=∠C，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，
∴BD=2AD，
∴CD=2AD．

根据直角三角形两锐角互余列方程求出∠ABC=60°，∠C=30°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．

本题考点：含30度角的直角三角形．

考点点评：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．