已知|Z|=1,解方程z^5+z=1

题目

已知|Z|=1,解方程z^5+z=1
不要用参数方程.能不能用复数知识解一下.

答案

设 z 的幅角为 θ,θ∈(0,2π).
因为 |z|=1,
所以 z =cos θ +i sin θ.
所以 z^5 +z =(cos 5θ +i sin 5θ) +(cos θ +i sin θ)
=(cos 5θ +cos θ) +i (sin 5θ +sin θ)
所以 方程 z^5 +z =1 等价于
cos 5θ +cos θ =1,①
sin 5θ +sin θ =0.②
由 ② 得
sin 5θ = -sin θ.
所以 cos 5θ = ±cos θ.③
由 ①③ 得
cos θ =cos 5θ =1/2.
所以 θ =π/3,或 θ=5π/3.
经检验,θ =π/3 和 θ=5π/3 都是方程组①② 的解.
所以 原方程的两根为
z1 =1/2 +(√3 /2) i,
z2 =1/2 -(√3 /2) i.
= = = = = = = = =
以上计算可能有误.