已知向量m=（sinA，cosA），n=（1，-2）且m⊥n． （1）求tanA的值； （2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

题目

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（1，-2）且

m

⊥

n

．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

答案

（1）∵

m

•

n

=sinA-2cosA=0
∴tanA=2
（2）f（x）=cos2x+2sinx
=1-2sin²x+2sinx
=−2(sinx−

1

2

)2+

3

2

∵-1≤sinx≤1
∴当sinx＝

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

；
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3．
所以f（x）的值域是[−3，

3

2

]．

（1）

m

⊥

n

故有∵

m

•

n

=sinA-2cosA=0可解得tanA的值；
（2）由二倍角的余弦将函数f（x）化简，由三角函数的最值即可求函数f（x）的值域．

本题考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值．

考点点评：本题主要考察平面向量数量积的运算、三角函数的最值，属于基础题．