在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于M,AT是∠BAC的平分线,交CM于D,过点D作DE∥AB,交BC于E.求证：CT∥BE

题目

在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于M,AT是∠BAC的平分线,交CM于D,过点D作DE∥AB,交BC于E.求证：CT∥BE
是求证CT=BE，

答案

证明：过点D作DP⊥AC于P,过点E作EQ⊥AB于Q
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠ACB＝90
∵CM⊥AB
∴∠BAC+∠ACD＝90
∴∠ACD＝∠ABC
∵AT平分∠BAC
∴∠BAT＝∠CAT
∵∠CDT＝∠CAT+∠ACD,∠CTD＝∠BAT+∠ABC
∴∠CDT＝∠CTD
∴CD＝CT
∵AT平分∠BAC,DP⊥AC,CM⊥AB
∴DP＝DM
∵EQ⊥AB,DE∥AB
∴矩形DMQE,∠BQE＝∠CPD＝90
∴EQ＝DM
∴EQ＝DP
∴△CPD≌△BQE （AAS）
∴CD＝BE
∴CT＝BE