定义在区间[a,b]的长度为b-a,用[x]表示不超过x的最大整数.设f(x)=[x](x-[x]),g(x)=x-1,则0≤x≤2012时,不等式f(x)≤g(x)的解集的区间长度为_.
题目
定义在区间[a,b]的长度为b-a,用[x]表示不超过x的最大整数.设f(x)=[x](x-[x]),g(x)=x-1,则0≤x≤2012时,不等式f(x)≤g(x)的解集的区间长度为______.
答案
当0≤x<1时,[x]=0,x-1<0,
∴f(x)=0,g(x)=x-1<0,即f(x)>g(x),不合题意;
当1≤x≤2012时,假设n≤x<n+1,则[x]=n,
∴f(x)=n(x-n),又g(x)=x-1,
∴f(x)-g(x)=n(x-n)-x+1=(n-1)x-n2+1≤(n-1)(n+1)-n2+1=0,
∴不等式f(x)≤g(x)的解集为[1,2012],
则不等式f(x)≤g(x)的解集的区间长度为2012-1=2011.
故答案为:2011
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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