如图,在三角形AOB中,若OA=OB=2a,圆O的半径R=a,问AB与圆O相切、相交、相离时∠AOB的取值范围分别怎样?

题目

如图,在三角形AOB中,若OA=OB=2a,圆O的半径R=a,问AB与圆O相切、相交、相离时∠AOB的取值范围分别怎样?

答案

过O作OC⊥AB于C,则∠AOC=1/2∠AOB．
　　（1）当AB与⊙O相切时,有OC=r=a．
　　在Rt△AOC中,cos∠AOC=,
　　∴∠AOC=60°,
　　∴∠AOB=2∠AOC=120°．
　　（2）当AB与⊙O相交时有OC　　在Rt△AOC中,cos∠AOC=,
　　∴60°<∠AOC<90°,
　　∴120°<∠AOB<180°．
　　（3）当AB与⊙O相离时,有OC>r=a,
　　在Rt△AOC中cos∠AOC=,
　　∴0°<∠AOC<60°,
　　∴0°<∠AOB<120°．