已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn (n∈N*,r∈R,r≠-1). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn (n∈N*,r∈R,r≠-1). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成

题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1=rSn (n∈N*,r∈R,r≠-1).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
答案
(I)由已知an+1=rSn,则an+2=rSn+1,两式相减得
an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1
即an+2=(r+1)an+1
又 a2=ra1=ra
∴当r=0时,数列{an}为:a,0,0,…;
当r≠0时,由r≠-1,a≠0,∴an≠0
由an+2=(r+1)an+1得数列{an}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时,an=r(r+1)n-2a
综上数列{an}的通项公式为an
a,n=1
r(r+1)n−2a ,n≥2

(II) 对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列,理由如下:
当r=0时,由(I)知,an
a,n=1
0,n≥2

∴对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列;
当r≠0,r≠-1时
∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1
若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,则2Sk=Sk+1+Sk+2
∴2Sk=2Sk+ak+2+2ak+1,即ak+2=-2ak+1
由(I)知,a2,a3,…,an,…的公比r+1=-2,于是
对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,从而am+2=4am
∴am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差数列
综上,对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列.
(I)由已知中an+1=rSn,我们可以得到以an+2=rSn+1,两式相减后结合数列前n项和定义,我们可以判断出数列{an}中从第二项开始,后一项与前一项之间的关系,因为式子中含有参数r,故我们可以对r进行分类讨论,即可得到答案.
(II)根据(I)的结论,我们同样要对r进行分类讨论,结合等差数列的判定方法,即要判断am+1,am,am+2是否成等差数列,即判断am+1+am+2=2am是否成立,论证后即可得到答案.

等差数列的性质;数列递推式.

本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识,同时考查了推理论证能力,以及特殊与一般的思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.