逻辑斯谛方程是怎么来的

题目

逻辑斯谛方程是怎么来的
逻辑斯谛方程dn/dt=n(k-n)是怎么来的？

答案

逻辑斯谛方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K.当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.该物种在此生态系统中有天敌、食物、空间等资源也不足（非理想环境）,则增长函数满足逻辑斯谛方程,图像呈S形,此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型.在以下内容中将具体介绍逻辑斯谛方程的原理、生态学意义及其应用.
关键词：逻辑斯谛方程；原理；生态学意义；应用
1 前言
1938年一位比利时的数学家Verhulst首先将营养关系反映到种群数学模型方面,是它首先导出了后来被广泛称为逻辑斯谛的方程.但在当时并没有引起大家的注意,直到1920年两位美国人口学家Pearl和Reed在研究美国人口问题时,再次提出这个方程,才开始流行,故现在文献中通常称之为Verhulst-Pearl阻碍方程.其所以又称为逻辑斯谛方程是因为其有某种逻辑推理的含义.按现在的用语来说,它是一个说理模型,实际上是反映营养对种群增长的一种线性限制关系的说理模型.
1963年,洛伦兹发现确定性系统的随机性为,并且发现了这种随机行为对初值的敏感性.1975年,美籍华人学者李天岩和数学家约克发表“周期中蕴含着混沌”的著名文章,揭示从有序到混沌的演化过程.这些内容都包含在逻辑斯谛差分方程中.1976年R.梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯谛方程的成果—《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》,引起学术界极大关注,内容已远远超越了生态学领域,揭示出逻辑斯谛方程深处蕴藏的丰富内涵.
2 逻辑斯谛方程的原理
在种群增长早期阶段,种群大小N很小,N/K值也很小,因此1-N/K接近于1,所以抑制效应可以忽略不计,种群增长实质上为r/N,成几何增长.然而,当N变大时,抑制效应增加,直到当N=K时,（1-N/K）变成了（1-K/K）,等于0,这时种群的增长为零,种群达到了一个稳定的大小不变的平衡状态.
逻辑斯谛曲线经常划分为5个时期：（1）开时期,也称潜伏期,种群个体数很少,密度增长缓慢.（2）加速期,随个体数增加,密度增长逐渐加快.（3）转折期,当个体数达到饱和密度一般（即K/2）时,密度增长最快.（4）减速期,个体数超过K/2以后,密度增长逐渐变慢.（5）饱和期,种群个体数达到K值而饱和.
逻辑斯谛增长曲线
3 逻辑斯谛方程参数及方程的生态学意义
3．1 逻辑斯谛方程中参数的生态学意义
逻辑斯谛方程中有两个参数r和K
意义：r—种群的增长能力
K—环境容纳量,即物种在特定环境中的平衡密度,随环境条件改变而改变.
另外：TR=1/r—自然反应时间,也是一个有用的参数
r越大,种群增长越快,TR越小,表示种群受到干扰后返回平衡状态所需时间越短,反之越长.TR是度量种群受到干扰后返回平衡状态所需时间长短的一个重要参数.
3．2 逻辑斯谛方程的生态学意义
（1）是许多两个相互作用种群增长模型的基础；
（2）是渔业、牧业、林业等领域确定最大持续产量的主要模型；
（3）模型中两个参数r和K,已成为生物进化对策理论中的重要概念.
（4）逻辑斯谛曲线更真实地反映了自然界中种群数量和环境容纳量的关系,能更科学有效的指导我们进行农业生产及种群研究.
4 逻辑斯谛方程的应用
4．1人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的,这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响,最终人口的增长将减慢下来.实际上,人口增长规律满足逻辑斯蒂方程.
4．2信息传播问题
所谓信息传播可以是一则新闻,一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期,知道这一信息的人很少,但是随时间的推移,知道的人越来越多,到一定时间,社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述.若以t表示从信息产生算起的时间,P表示已知信息的人口比例,则逻辑斯蒂方程变为：
　　 .(1)
例如,当某种商品调价的通知下达时,有10％的市民听到这一通知,2小时以后,25％的市民知道了这一信息,由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间.　　在方程(1)中,由t=0时,P=10％可得 B＝9;再由t=2时,P=25％可得, .
　　当P=75％时,有:
　　
解得t=6,即6小时后,全市有75％的人了解这一通知.
4．3商品销售问题
如销售某种商品时,由于新产品刚上市信誉不高,销售量很少.经过一个阶段的试用后,信誉逐渐提高,加之广告宣传,产品的销路逐渐打开,销售量大为提高达到高峰.高峰期过后,由于社会对这项产品的需求逐渐饱和,又加上新的更好的产品出现,销售量增加极为缓慢直至社会不再需要这种产品,这种规律符合逻辑斯谛方程规律.
4．4种间竞争问题
这里指的竞争是两个具有共同食物、空间或其它需求的物种之间的竞争,不包括捕食、寄生关系等广义的生存竞争.G.F高斯以两种分类上和生态上很接近的草履虫进行试验.在对两种草履虫单独培养时,他们都表现出典型的S型曲线增长,但在混合培养时,开始两种草履虫均有增长,最后大草履虫灭亡,双核小草履虫生存.高斯用洛特卡-沃尔泰拉模型拟和结果,并提出竞争排除原理.而洛特卡-沃尔泰拉竞争模型是以逻辑斯谛增长为基础的.
4．5生态旅游区环境容量的确定
1980年加拿大学者Butler提出关于旅游业随时间演化的动力学模型,该模型是种群在有限环境中的逻辑斯谛增长的动力学模型.S型增长曲线有上渐近线,但它仅能接近于K,不能超过最大值水平,此值即为环境容纳量.该模型用于生态旅游区环境容量的确定,若生态旅游区内游人数量超过这个K值,将会造成环境和旅游资源受超量滥用,结果旅游地吸引力锐减,并逐步衰落.
5 结语
逻辑回归模型,属于多重变数分析范畴,是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、市场营销等统计实证分析的常用方法.逻辑斯谛方程的应用比较广泛.如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时,呈指数型增长,而当t增大时,增长速度就下降,且越来越接近于一个确定的值,这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决.