设（x,f,p）为一测度空间,A、B、C属于f.

题目

设（x,f,p）为一测度空间,A、B、C属于f.
求证 :p(A交B) + p(A交C) - p(B交C)

答案

A、B、C相交所产生不相交的集合为
(A-B-C),(B-A-C),(C-A-B),(A∩B-A∩B∩C),(A∩C-A∩B∩C),(B∩C-A∩B∩C),(A∩B∩C)
A=(A∩B-A∩B∩C)∪(A∩C-A∩B∩C)∪(A∩B∩C)∪(A-B-C)
A∩B=(A∩B-A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
A∩C=(A∩C-A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
B∩C=(B∩C-A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
左手边：
p(A∩B) + p(A∩C) -p(B∩C)=
p( (A∩B-A∩B∩C)∪A∩B∩C)+p( (A∩C-A∩B∩C)∪ A∩B∩C) - p((B∩C-A∩B∩C)∪(A∩B∩C))=
p(A∩B-A∩B∩C) + p( A∩C-A∩B∩C) +2p(A∩B∩C) - p(B∩C-A∩B∩C)- p(A∩B∩C)=
p(A∩B-A∩B∩C) + p( A∩C-A∩B∩C) +p(A∩B∩C) - p(B∩C-A∩B∩C) =
p(A∩B-A∩B∩C)+p(A∩C-A∩B∩C)+p(A∩B∩C)>=左手边
注 p(B∩C-A∩B∩C)>=0,p(A-B-C)>=0
故
p(A交B) + p(A交C) - p(B交C)