如图,C是以AB为直径的圆O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作圆O切线,交 ​OE的延长线于点F,

题目

如图,C是以AB为直径的圆O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作圆O切线,交 ​OE的延长线于点F,
如图,C是以AB为直径的圆O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作圆O切线,交    OE的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P
（1）求证：PC是圆O的切线
（2）若AB=4,AP：PC=1:2,求CF的长.

答案

（1）证明：连结OC 
∵OE⊥AC
∴AE=CE
∴FA=FC
∴∠FAC=∠FCA
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA
即∠FAO=∠FCO
∵FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径
∴FA⊥AB
∴∠FCO=∠FAO=90°
∴PC是⊙O的切线