设f(x)=x^2+px+q,若|f(x)|在[-1,1]上的最大值为M

题目

设f(x)=x^2+px+q,若|f(x)|在[-1,1]上的最大值为M
设f(x)=x^2+px+q,若 | f(x) | 在 [-1,1] 上的最大值为M,求M取最小值时的函数解析式

答案

这个问题是这样的,f（x）的极值是在x=1or-1or-p/2 (-p/2在-1到1中) 这三者之间的最大值的最小值.那么就是1+p+q 1-p+q q-p^2/4之间,p>0时 1+p+q>1-p+q 同时1+p+q>q-p^2/4(由配方得到)
那么M=1+p+q 此时要取p->0时才能得到M的极小值,同样的p<0时也可以得到p->-0时才能得到M的极小值,于是p=0.
此时方程为f（x）=x^2+q 其极大值为|q| 或者 q+1,这里显然去q= -1/2 时得到极值,即为：
M=1/2 此时f(x)=x^2-1/2