定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足：x•f′（x）＜f（x）且f（1）=0，则f(x)x＜0的解集为（　　） A.（0，1） B.（0，1）∪（1，+∞） C.（1，+∞） D.ϕ

题目

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足：x•f′（x）＜f（x）且f（1）=0，则

f(x)

x

＜0的解集为（　　）
A. （0，1）
B. （0，1）∪（1，+∞）
C. （1，+∞）
D. ϕ

答案

函数f（x）的定义域为x＞0，所以f（x）＜0，
f（x）＜0时，
xf'（x）＜f（x），
则xf'（x）＜0，
∵x＞0
∴f'（x）＜0
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f（1）=0
f（x）＜0=f（1）
解得x＞1，
故选C．

先确定f'（x）＜0得到函数f（x）是单调递减的，然后令

f(x)

x

＜0即可得到答案．

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系，考查了学生的计算能力，属基础题．