已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.

已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.

题目
已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.
答案
设f(x)在[-2,2]上的最小值为g(a),
则满足g(a)≥a的a的最小值即为所求.
配方得f(x)=(x+
a
2
)2+3−
a2
4
(|x|≤2)

(1)当−2≤−
a
2
≤2
时,即-4≤a≤4时,g(a)=3−
a2
4

由3-
a2
4
≥a解得∴-4≤a≤2;
(2)当
a
2
≥2
时,即a≤-4,g(a)=f(2)=7+2a,
由7+2a≥a得a≥-7∴-7≤a≤-4
(3)当
a
2
≤−2
时,即a≥4,g(a)=f(-2)=7-2a,
由7-2a≥a得a≤
7
3
,这与a≥4矛盾,此种情形不存在.
综上讨论,得-7≤a≤2∴amin=-7.
先将函数配成f(x)=(x+
a
2
)2+3−
a2
4
(|x|≤2)
,然后讨论函数的对称轴与[-2,2]的位置关系,分别求出函数的最小值,建立不等关系,解之即可.

函数恒成立问题.

本题主要考查了函数恒成立问题,以及分离讨论的数学思想,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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