在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC=2,点D在BC上运动,作角ADE=45度（A,D,E,按逆时针方向）,DE交AC于点E

题目

在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC=2,点D在BC上运动,作角ADE=45度（A,D,E,按逆时针方向）,DE交AC于点E
（1）说明：三角形ABD相似于三角形DCE
（2）当三角形ADE是等腰三角形时,求AE的长

答案

⑴∵∠ADE=45°,∴∠CDE+∠ADB=135°,
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠C=∠B=45°,∴∠ADB+∠BAD=135°,
∴∠CDE=∠BAD,∵∠B=∠C=45°,
∴ΔABD∽ΔDCE.
⑵①AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,∴∠DAE=90°,
这时D与B重合,E与C重合,AE=AC=2,
②ED=EA,则∠EAD=∠ADE=45°,D为BC中点,
∴E为AC中点,AE=1/2AC=1,
③DA=DE,ΔABD≌ΔCDE,
CD=AB=2,CE=BD=BC-CD=2√2-2,
∴AE=2-CE=4-2√2.