三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?

题目

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?
请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).

答案

我们更习惯用a,b,c来表示三角形三条边,A,B,C表示三角形的三个内角
设费马点P,分情况讨论:
1.A≥120度时,P=A,PA+PB+PC=AB+AC=b+c
2.B≥120度时,P=B,PA+PB+PC=AB+BC=a+c
3.C≥120度时,P=C,PA+PB+PC=BC+AC=a+b
4.A,B,C均小于120度时
设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度
那么由余弦定理
x^2+y^2+xy=c^2
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+xz=b^2
三式相加
(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2 .(1)
由正弦定理
√3xy/4=S⊿PAB
√3yz/4=S⊿PBC
√3zx/4=S⊿PAC
三式相加
xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3 ...(2)
由海伦公式
S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4 ...(3)
由(1),(2),(3),解得
PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}
这就是要求的表达式