将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为3：4,再将它们卷成两个圆锥侧面,则两圆锥体积之比

题目

将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为3：4,再将它们卷成两个圆锥侧面,则两圆锥体积之比

答案

设圆形纸片的半径为R,则两个扇形的弧长分别为：
扇形1弧长=2πR*3/(3+4)=6Rπ/7,
扇形2弧长=2πR*4/(3+4)=8Rπ/7.
圆锥1的底面半径=(6Rπ/7)/2π=3R/7
圆锥2的底面半径=(8Rπ/7)/2π=4R/7
圆锥1的高=√(R²-(3R/7)²)=√40R/7
圆锥2的高=√(R²-(4R/7)²)=√33R/7
V圆锥1/V圆锥2=(π(3R/7)²*(√40R/7)/3)/(π(4R/7)²*(√33R/7)/3)
=((9*√40)/49*7)/((16*√33)/49*7)
=9*√10/8*√33
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